2.5 矩阵的秩及其求法.ppt

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1、1,一、矩阵秩的概念,二、矩阵秩的求法,第五节,矩阵的秩及其求法,第二章,三、满秩矩阵,第四节我们发现，矩阵经过有限次初等行变换化成的阶梯型矩阵不唯一，但是与其等价的阶梯型矩阵非零行行数一样，台阶的形状相同。这反映了矩阵什么性质呢？,2,1. k 阶子式,定义1 设,在A中任取k 行k 列交叉,称为A的一个k 阶子式。,阶行列式，,处元素按原相对位置组成的,一、矩阵的秩的概念,例如,矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素,所构成的二阶子式为,3,个二阶子式，有,个三阶子式。,例如,而,为 A 的一个三阶子式。,显然，,矩阵 A 共有,个 k 阶子式。,2. 矩阵的秩,有r 阶子式不为0，

2、任何r+1阶,记作R(A)或秩(A)。,子式(如果存在的话)全为0 ,定义2,称r为矩阵A的秩，,二、矩阵秩的求法,1、子式判别法(定义)。,例1,为阶梯形矩阵，,求R(B)。,解,二阶子式不为0，,所以 R(B) = 2.,例2,求R(A)。,5,解：,存在一个三阶子式不为0，,所以 R(A) = 3.,A没有4阶子式，,6,例如,一般地，,行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”,非零行的行数。,7,如果,求 a .,解,或,例3 设,分析：R（A)3,A所有的3阶子式为零，即A的行列式为零。,8,则,例3,A有非零的1阶子式，但A所有的 2阶子式都为0，所以R（A）=1 舍去K=1。得K=-3。

3、,分析：R（A)=34,A所有的4阶子式为零，即A的行列式为 零。,9,2、用初等变换法求矩阵的秩,定理1 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。,即,则,注：,只改变子行列式的符号。,是 A 中对应子式的 k 倍。,是行列式运算的性质。,第二种求矩阵A的秩方法： 1） 2）R（B）等于非零行行数，,10,例4,解,R(A) = 2,，,求,求矩阵,的秩。,解,所以R（A）= 2 。,例5,12,例6,Ex1.,求矩阵A 的秩，并求A 的一个最高阶非零子式。,解,先求A 的秩，对A 作初等行变换化为行阶梯形：,故R（A）= 3 。,再求A 的一个最高阶非零子式。,因R（A）= 3 ，知A 的最高阶非零子

4、式为 3 阶，,返回,易计算A 的前三行构成的子式,因此这个子式便是A 的一个最高阶子式。,15,三、满秩矩阵,称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵）,称 A 是降秩阵，（奇异矩阵）,可见：,A 为 n 阶方阵时，,定义3,对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵的作用：,每对A施行一次初等行变换，,相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的,定理.,定理2,设A是满秩方阵，则存在一系列初等方阵,使得,16,例7,A为满秩方阵。,此过程相当于,17,关于秩的一些结论（熟记）： 规定： 零矩阵的秩为 0 .,(1) 根据行列式的性质，,(2) A为mn矩阵, 0 R(A) min

5、 m , n .,定理3,R(AB),R(A),R(AB),minR(A)，R(B)。,定理4,推论1 如果 A B = 0 则,推论2 如果 R(A)= n, A B = 0 则 B = 0。,18,设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）n,证：,R（A+E）+ R（ E-A ） R(A+E)-(A-E) =R（2E）=n, R（A+E）+R（A-E）n,例8,19,作业,P109 1 2 3,性质1,证明：,因为,所以,定理5,22,定理 A是一个sn矩阵,如果P是ss可逆矩阵,Q是nn可逆矩阵,那么 秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ) 证明:由定理2有 秩(A)=秩(P-1PA)秩(PA)秩(A) 即 秩(A)秩(PA) 同理可证 秩(A)=秩(AQQ-1）秩(AQ)秩(A) 秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ),